Cho hai đường thẳng d: 4x+3y-2=0 và d': x+7y-12=0. Nếu có phép quay biến d thành d' thì góc quay có thể là bao nhiêu độ?

$\vec{n_d}= (4;3)\Rightarrow \vec{u_d}= (-3;4)$

$\vec{n_d'}= (1;7)\Rightarrow \vec{u_d'}= (-7;1)$

$\Rightarrow \vec{u_d}.\vec{u_d'}= (-3).(-7)+4=25$ 

$|\vec{u_d}|= \sqrt{3^2+4^2}=5$

$|\vec{u_d'}|=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt2$

$\Rightarrow cos(d, d')=\dfrac{25}{5.5\sqrt2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (d,d')=45^o+ k360^o$ hoặc $-45^o+ k360^o$ 

Vậy góc quay là $\pm 45^o+ k360^o$

Đáp án:

Có phép quay góc \({45^0}\) hoặc \({135^0}\) biến \(d\) thành \(d'\).

Giải thích các bước giải:

Đường thằng \(d\) có VTPT .

Đường thẳng \(d'\) có VTPT \(\overrightarrow {n'} \left( {1;7} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {d;d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {4.1 + 3.7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {7^2}} }} = \frac{{25}}{{5.5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \widehat {\left( {d;d'} \right)} = {45^0}\end{array}\)

Vậy có phép quay góc \({45^0}\) hoặc \({135^0}\) biến \(d\) thành \(d'\).