Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn và 1 điểm C thuộc đường tròn O (C khác A, B). Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax và By lần lượt tại D, E. a) Chứng minh DE = AD + BE và C, O, B, E cùng thuộc 1 đường tròn. b) OE cắt (O) lần lượt tại V, K và cắt BC tại L (V nằm giữa O và E). Chứng minh LO.LE = LV.LK. c) Cm: 1/VL - 1/ VE = 2/KV. Xin mọi người giúp dùm câu c). Cám ơn rất nhiều.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $DE=DC+CE$

Mà $DC=DA$, $CE=BE$ (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow DE=DA+BE$ (đpcm)

Ta có: $\Delta COE\bot C\Rightarrow C, O, E$ thuộc đường tròn đường kính $OE$

$\Delta BOE\bot B\Rightarrow B, O, E$ thuộc đường tròn đường kính $OE$

Vậy nên $C,O,B,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OE$ (đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta BOE\bot B$ có $BL$ là đường cao

$BL^2=LO.LE$ (1)

$\Delta BVK$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $KV$

Nên $\Delta BVK\bot B$ đường cao $BL$

Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$BL^2=LV.LK$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $LO.LE=LV.LK$ (đpcm)

c) Ta có $\Delta OBV$ cân đỉnh $O$ (do $OV=OB$ cùng là bán kính $O$)

$\Rightarrow \widehat{OVB}=\widehat{OBV}$

Mà $\widehat{LBV}$ phụ $\widehat{OVB}$

$\widehat{VBE}$ phụ $\widehat{OBV}$

Nên $\widehat{LBV}=\widehat{VBE}$ (cùng phụ với 2 góc bằng nhau)

$\Rightarrow VB$ là tia phân giác $\widehat{LBE}$ của $\Delta LBE$

Nên $\dfrac{BE}{BL}=\dfrac{VE}{LV}$

Ta có:

$\dfrac{1}{VL}-\dfrac{1}{VE}=\dfrac{2}{KV}$

Nhân 2 vế với $VE$:

$\Rightarrow \dfrac{VE}{VL}-\dfrac{VE}{VE}=\dfrac{2VE}{2OV}$

$\Rightarrow \dfrac{VE}{VL}-1=\dfrac{VE}{OV}$

$\Rightarrow \dfrac{BE}{BL}=\dfrac{VE}{OV}+1=\dfrac{VE+OV}{OV}=\dfrac{OE}{OB}$

Như vậy cần chứng minh $\dfrac{BE}{BL}=\dfrac{OE}{OB}$

Thật vậy $\Delta $ vuông $LBE$ có:

$\sin\widehat{LEB}=\dfrac{BL}{BE}\Rightarrow \dfrac{BE}{BL}=\dfrac{1}{\sin\widehat{LEB}}$

$\Delta OBE:\sin\widehat{OEB}=\dfrac{OB}{OE}\Rightarrow \dfrac{OE}{OB}=\dfrac{1}{\sin\widehat{OEB}}$

$\Rightarrow \dfrac{BE}{BL}=\dfrac{OE}{OB}$ (do cùng bằng $\dfrac{1}{\sin\widehat{OEB}}$) (đpcm).