Cho đường tròn tâm O đường kính AB,điểm M thuộc đường tròn tâm O,tiếp tuyến tại M và B cắt nhau tại D.Qua O kẻ đường thẳng song song với MB cắt tiếp tuyến qua M tại C và cắt tiếp tuyến qua B tại N a.chứng minh tam giác CDN cân b.AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O c.tích AC.BD không phụ thuốc vào vị trí của điểm M

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a.
Từ tính chất tiếp tuyến: DM=DB⇒△DBMDM=DB⇒△DBM cân tại D⇒DBMˆ=DMBˆD⇒DBM^=DMB^
CN∥BM⇒DCNˆ=DBMˆ;DNCˆ=DMBˆCN∥BM⇒DCN^=DBM^;DNC^=DMB^
Suy ra DCNˆ=DNCˆ⇒△DNCDCN^=DNC^⇒△DNC cân tại DD.
b.
Ta có DM=DB;OM=OB⇒DODM=DB;OM=OB⇒DO là đường trung trực của BM⇒DO⊥BMBM⇒DO⊥BM.
mà MB∥NCMB∥NC nên DO⊥NCDO⊥NC
△DNC△DNC cân tại DD có DODO là đường cao nên cũng là đường trung trực ⇒OC=ON⇒OC=ON
△OAC=△OBN(c.g.c)⇒OBNˆ=OACˆ△OAC=△OBN(c.g.c)⇒OBN^=OAC^
Mà BNBN là tiếp tuyến của (O)⇒OBNˆ=90∘⇒OACˆ=90∘\RigharrowAC(O)⇒OBN^=90∘⇒OAC^=90∘ AC là tiếp tuyến của (O)(O).
c.
2 tiếp tuyến ACAC và MCMC cắt nhau tại C⇒AC=MCC⇒AC=MC.
AC.BD=MC.MDAC.BD=MC.MD
Ta có DO⊥CN⇒DOCˆ=90∘DO⊥CN⇒DOC^=90∘
Áp dụng hệ thức lượng trong △DOC△DOC vuông tại O,OM⊥DCO,OM⊥DC
MC.MD=OM2=R2MC.MD=OM2=R2
Suy ra AC.BD=R2AC.BD=R2 không đổi.