cho đường tròn tâm o ;điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AM;AN với (o).Chứng minh 4 điểm A;M;O;N thuộc đg tròn (chứng minh 2 cách )

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$C_1$

$AM,AN$ là tiếp tuyến $(O)$

$\Rightarrow \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^\circ$

Tứ giác $OMAN$ có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ $(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=90^\circ+90^\circ=180^\circ)$

$\Rightarrow $Tứ giác $OMAN$ nội tiếp 

$\Rightarrow O,M,A,N$ cùng thuộc một đường tròn

$C_2$

$AM,AN$ là tiếp tuyến $(O)$

$\Rightarrow \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^\circ$

Gọi $I$ là trung điểm $OA$

$\Delta OMA$ vuông tại $A$, trung tuyến $MI$ bằng nửa cạnh huyền $OA$

$\Rightarrow MI=\dfrac{1}{2}OA=OI=AI(1)$

$\Delta ONA$ vuông tại $A$, trung tuyến $NI$ bằng nửa cạnh huyền $OA$

$\Rightarrow NI=\dfrac{1}{2}OA=OI=AI(2)$

$(1)(2) \Rightarrow MI=NI=OI=AI$

$\Rightarrow M,N,O,A$ cùng thuộc đường tròn $(I;IM).$