Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) ( B ,C là tiếp điểm). Trên đoạn OB lấy điểm I (I khác B, I khác O ). Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm D và E ( D nằm giữa A và E). Chứng minh :

a) Tứ giác ABOC nội tiếp

b) AB2 = AD.AE

c) Gọi H là giao điểm của BC và AO . Chứng minh góc AHD bằng góc AEO

Đáp án:

a) AB, AC là tiếp tuyến => OB vuông góc với AB và OC vuông góc với AC

⇒ $\widehat{OBA}$ = $\widehat{OCA}$= 90 độ (tc)

⇒ $\widehat{OBA}$ + $\widehat{OCA}$ = 90 độ + 90 độ = 180 độ

⇒ OBAC nội tiếp

b) Xét ΔABD và ΔAEB có

$\widehat{BAE}$: chung

$\widehat{ABD}$ = $\widehat{AEB}$ (đ/lý) 

⇒ ΔABD vì ΔAEB (g.g)

⇒ $\frac{AB}{AE}$ = $\frac{AD}{AB}$ <=> $AB^{2}$ = AD . AE

c) AE = AC

OB = OC (gt) = R

OA chung 

⇒ ΔAOB = ΔAOC (c.c.c)

⇒ $\widehat{BAO}$ = $\widehat{CAO}$

⇒ AO là phân giác

mà ΔΔABC cân

=> AO vuông góc với BC (tc)

Xét ΔABH và ΔAOB

$\widehat{BAO}$ chung

$\widehat{AHB}$ = $\widehat{ABO}$ = 90 độ

⇒ ΔABH vì ΔAOB (g.g)

⇒ $\frac{AB}{AO}$ = $\frac{AH}{AB}$ = $xAB^{2}$ = AH . AO

Mà AB² = AD . AE (cmt)

⇒ AH . AO = AD . AE <=> $\frac{AH}{AE}$ = $\frac{AD}{AO}$ => ΔAHD vvif ΔAEO

⇒ $\widehat{AHD}$ = $\widehat{AEO}$