Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) ( B ,C là tiếp điểm). Trên đoạn OB lấy điểm I (I khác B, I khác O ). Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm D và E ( D nằm giữa A và E). Chứng minh :

a) Tứ giác ABOC nội tiếp

b) AB2 = AD.AE

c) Gọi H là giao điểm của BC và AO . Chứng minh góc AHD bằng góc AEO

a)

Vì $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180{}^\circ $

$\Rightarrow ABOC$ là tứ giác nội tiếp

b)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEB$, ta có:

$\widehat{BAE}$ là góc chung

$\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BD$)

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta AEB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$

$\Rightarrow A{{B}^{2}}=AD.AE$

c)

Ta có:

+ $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ $OB=OC=R$

Nên $OA$ là đường trung trực của $BC$

Mà $OA$ giao với $BC$ tại $H$

Do đó $OA\bot BC$ tại $H$

Ta có $\Delta ABO$ vuông tại $B$ với đường cao $BH$

$\Rightarrow A{{B}^{2}}=AH.AO$ (hệ thức lượng)

Mà $A{{B}^{2}}=AD.AE$ (chứng minh ở câu b)

Nên $AH.AO=AD.AE$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}$

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta AEO$, ta có:

$\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}$ (cmt)

$\widehat{OAE}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta AHD\backsim\Delta AEO\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{AHD}=\widehat{AEO}$