Cho đường tròn (O,3 cm) và điểm A cách O là 5 cm. Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn O(B và C là hai tiếp điểm ) .Vẽ đường kính CD.OA cắt BC tại H. a)Chứng minh OA //BD. b)Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E và cắt BD tại F.Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AE c)Chứng minh OE^3/OA^3=EF/AH

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC$

              $CD$ là đường kính của $(O)\to BC\perp BD$

$\to BD//AO$

b.Ta có $AO//DB, OE\perp AO\to OE\perp BD$

$\to OE$ là trung trực $BD$

$\to \widehat{EDO}=\widehat{EBO}=90^o$ do $BE$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to DE\perp CD$

Do $AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AC\perp OC\to AC\perp CD$

$\to ACDE$ là hình thang vuông

Gọi $I$ là trung điểm $AE$

Vì $O$ là trung điểm CD$

$\to IO$ là đường trung bình hình thang $AEDC\to OI//DE//AC$

Do $DE\perp CD\to OI\perp CD$

Ta có $\Delta OAE$ vuông tại $O, I$ là trung điểm $AE$

$\to (I, IO)$ là đường tròn đường kính $AE$

Mà $CD\perp OI=I$

$\to CD$ là tiếp tuyến của $(I, IO)$

$\to CD$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AE$

c.Ta có $\Delta AOE, \Delta ABO, \Delta BEO$ vuông tại $O, B,B$ và $BH\perp AO, BF\perp OE, OB\perp AE$

Nên ta áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông như sau:

Ta có:

$\dfrac{OE^2}{OA^2}=\dfrac{EB\cdot EA}{AB\cdot AE}=\dfrac{BE}{AB}$

$\to (\dfrac{OE^2}{OA^2})^2=(\dfrac{BE}{AB})^2$

$\to \dfrac{OE^4}{OA^4}=\dfrac{BE^2}{AB^2}=\dfrac{EF\cdot EO}{AH\cdot AO}=\dfrac{EF}{AH}\cdot \dfrac{OE}{AO}$

$\to \dfrac{OE^3}{OA^3}=\dfrac{EF}{AH}$

$\to đpcm$