Cho `\Delta ABC` vuông tại `A`, đường cao `AH`. Lấy `D` đối cứng `C` qua `A`. Gọi `I` là trung điểm `AH`. Lấy `K` đối xứng `I` qua `A`. a) CMR: `BI ⊥HD` b) Cho `HC=4HB`. Tính `\hat{CKA}+\hat{CAI}`

a)

Gọi $E$ là giao điểm $AB$ và $DH$

Gọi $F$ là giao điểm $BI$ và $DH$

Có: $\Delta HAB\backsim\Delta HCA\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{AB}{CA}$

$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{2}AH}{CH}=\dfrac{AB}{2CA}$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{CH}=\dfrac{AB}{CD}$

$\Rightarrow \Delta AIB\backsim\Delta CHD\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{CDH}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{CDH}+\widehat{AED}=90{}^\circ\\\widehat{AED}=\widehat{BEF}\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{ABI}+\widehat{BEF}=90{}^\circ$

Điều này chứng tỏ $BI\bot HD$ tại $F$

b)

Với $HC=4HB$

Khi đó $AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{HB.4HB}=2HB$

$\Rightarrow HB=HI=IA=AK=\dfrac{1}{4}HC$

Có:$\begin{cases}\tan \widehat{CKA}=\dfrac{HC}{HK}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \widehat{CKA}=\arctan \left( \dfrac{4}{3} \right)\\\tan \widehat{CAI}=\dfrac{HC}{HA}=2\Rightarrow \widehat{CAI}=\arctan \left(2 \right)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{CKA}+\widehat{CAI}=\arctan \dfrac{4}{3}+\arctan\left(2\right)\approx 116{}^\circ 34'$