Cho `\Delta ABC` đường cao `BD, CE` cắt nhau tại `H`. Gọi `M,N` là trung điểm `BC, DE`. `AN ∩ BC=K, AM ∩ DE= I`. CMR: `IK////AH`

Có $ME=MD=\dfrac{1}{2}BC$ (trung tuyến ứng cạnh huyền)

$\Rightarrow \Delta MED$ cân tại $M$

Có $MN$ là trung tuyến nên cũng là đường cao

$\Rightarrow MN\bot ED\Rightarrow \widehat{INM}=90{}^\circ $

Không mất tính tổng quát, giả sử $AB<AC$

Có $\Delta AEC\backsim\Delta ADB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$

$\Rightarrow \Delta AED\backsim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AC}{CB}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{\dfrac{1}{2}ED}=\dfrac{AC}{\dfrac{1}{2}CB}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{EN}=\dfrac{AC}{CM}$

$\Rightarrow \Delta AEN\backsim\Delta ACM\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AN}{AM}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì $\Delta AEN\backsim\Delta ACM\left( cmt \right)$

$\Rightarrow \widehat{EAN}=\widehat{CAM}$

$\Rightarrow \widehat{EAN}+\widehat{NAI}=\widehat{CAM}+\widehat{NAI}$

$\Rightarrow \widehat{EAI}=\widehat{CAK}$

$\Rightarrow \Delta AEI\backsim\Delta ACK\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AI}{AK}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AI}{AK}$

$\Rightarrow AN.AK=AI.AM$

$\Rightarrow MKNI$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{IKM}=\widehat{INM}=90{}^\circ $

$\Rightarrow IK\bot BC$

Mà $AH\bot BC$ nên $IK//AH$