Cho các số tự nhiên từ 0,....,9. Có thể lập đc bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho hai số liền kề không cùng là số lẻ

Đáp án: $37800$ số thỏa mãn đề

Giải thích các bước giải:

Gọi số thỏa mãn đề là $x=\overline{abcdef}$

Dễ thấy $x$ có tối đa $3$ chữ số lẻ

Trường hợp $1$: $x$ có đúng $1$ chữ số lẻ

+)Chữ số lẻ là $a$, có $5$ cách chọn $a$, $\overline{bcdef}$ có $5!$ cách chọn($5$ chữ số chẵn)

Trường hợp này có $5.5!=600$ số

+)Chữ số khác $a$, có $5$ cách chọn số lẻ, $5$ cách đặt vào các vị trí khác $a$

Có $4$ cách chọn $a$, $4$ chữ số còn lại có $4!$ cách chọn

Trường hợp này có $5.5.4.4!=2400$ số

Vậy trường hợp $1$ có: $2400+600=3000$ số thỏa mãn

Trường hợp $2$: $x$ có đúng $2$ chữ số lẻ và $4$ chữ số chẵn

+)Chữ số lẻ là $a$: có $5$ cách chọn $a$, $4$ cách chọn chữ số lẻ còn lại, $4$ cách đặt chữ số này không kề với $a$

$4$ chữ số chẵn còn lại có: $5.4.3.2=120$ cách chọn

Trường hợp này có: $5.4.4.120=9600$ số

+)Chữ số chẵn là $a$: có $4$ cách chọn $a$, $3$ chữ số chẵn còn lại có $4.3.2=24$ cách chọn

Có $C^2_5=10$ cách chọn cặp số lẻ 

Có $2!.C^2_5-8=12$ cách đặt cặp số lẻ vào các vị trí thỏa mãn yêu cầu

Trường hợp này có $4.24.10.12=11520$ số

Vậy trường hợp $2$ có: $9600+11520=21120$ số thỏa mãn

Trường hợp $3$: $x$ có đúng $3$ chữ số lẻ và $3$ chữ số chẵn

+)Chữ số chẵn là $a$ có $4$ cách chọn $a$

Có $2!C^2_4=12$ cách xếp $2$ chữ số chẵn còn lại

Có $3!C^3_5=60$ cách xếp $3$ chữ số lẻ

trường hợp này có $4.12.60=2880$ số thỏa mãn

+)Chữ số chẵn khác $a$

Suy ra $x$ có $3$ dạng $\overline{lclclc},\overline{lcclcl},\overline{lclccl}$

Có $3!.C^3_5=60$ cách xếp $3$ chữ số lẻ

tương tự có $60$ cách xếp $3$ chữ số chẵn

Trường hợp này có $3.60.60=10800$ số thỏa mãn

Vậy trường hợp $3$ có: $10800+2880=13680$ số thỏa mãn

Tổng cộng có: $3000+21120+13680=37800$ số thỏa mãn đề