Cho các số thực dương a,b thỏa mãn 1/a + 1/b = 2 . Tìm GTNN của biểu thức Q = 1/a^4 + b^2 + 2b^2 +1/b^4 + a^2 + 2a^2b
2 câu trả lời
Đáp án:1
Giải thích các bước giải:
Áp bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
1/a + 1/b >= 2can{(1/a).(1/b)};
hay 1/a + 1/b >= 2/can(ab).
Vì 1/a + 1/b = 2 nên
2 >= 2/can(ab);
hay can(ab) >= 1.
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta được
a^4 + b^2 + ab^2 + ab^2 >= 4CB4{(a^4).(b^2).(ab^2).(ab^2)};
hay a^4 + b^2 + 2ab^2 >= 4CB4[(ab)^6];
hay a^4 + b^2 + 2ab^2 >= 4[can(ab)]^3,
và chứng minh tương tự ta cũng có
hay b^4 + a^2 + 2ba^2 >= 4[can(ab)]^3.
Từ đó suy ra
1/(a^4 + b^2 + 2ab^2) + 1/(b^4 + a^2 + 2ba^2) <= 1/{4[can(ab)]^3} + 1/{4[can(ab)]^3};
hay Q <= 1/{2[can(ab)]^3}.
Lại vì can(ab) >= 1 nên
1/{2[can(ab)]^3} <= 1/{2.1^3};
hay 1/{2[can(ab)]^3} <= 1/2,
và do đó Q <= 1/2. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1.
KL: Q đạt GTLN bằng 1/2 khi a = b = 1.
Đáp án:
Áp bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
1/a + 1/b >= 2can{(1/a).(1/b)};
hay 1/a + 1/b >= 2/can(ab).
Vì 1/a + 1/b = 2 nên
2 >= 2/can(ab);
hay can(ab) >= 1.
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta được
a^4 + b^2 + ab^2 + ab^2 >= 4CB4{(a^4).(b^2).(ab^2).(ab^2)};
hay a^4 + b^2 + 2ab^2 >= 4CB4[(ab)^6];
hay a^4 + b^2 + 2ab^2 >= 4[can(ab)]^3,
và chứng minh tương tự ta cũng có
hay b^4 + a^2 + 2ba^2 >= 4[can(ab)]^3.
Từ đó suy ra
1/(a^4 + b^2 + 2ab^2) + 1/(b^4 + a^2 + 2ba^2) <= 1/{4[can(ab)]^3} + 1/{4[can(ab)]^3};
hay Q <= 1/{2[can(ab)]^3}.
Lại vì can(ab) >= 1 nên
1/{2[can(ab)]^3} <= 1/{2.1^3};
hay 1/{2[can(ab)]^3} <= 1/2,
và do đó Q <= 1/2. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1.
KL: Q đạt GTLN bằng 1/2 khi a = b = 1.