Cho các số dương `x,y,z` thỏa mãn `x+2y+3z>=20`. `@`Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `A=x+y+z+3/x+9/{2y}+4/z`
2 câu trả lời
Theo đề, ta có:
`A=x+y+z=3/x+9/(2y)+4/z`
`->A=(3x)/4+3/x+y/2+9/(2y)+z/4+4/z+x/4+y/2+(3z)/4`
`->A=((3x)/4+3/x)+(y/2+9/(2y))+(z/4+4/z)+1/4(x+2y+3z)`
Áp dụng bất đãng thức Co-si ta có:
`@(3x)/4+3/x>=2\sqrt{(3x)/4 . 3/x}=3(1)`
`@y/2+(9y)/2>=2\sqrt{y/2 . (9y)/2}=2\sqrt{9/4}=3(2)`
`@z/4+4/z>=2\sqrt{z/4 . 4/z}=2(3)`
Trên đề ta có `x+2y+3z>=20`
`=>1/4(x+2y+3z)>=5(4)`
Từ `(1)(2)(3)(4)` suy ra:
`x+y+z+3/x+9/(2y)+4/z>=3+3+2+5=13`
Dấu "`=`" xảy ra khi
`{(x=2),(y=3),(x=4):}`
Vậy $GTNN$ của `A` là `13` khi `x=2;y=3;z=4`
`A = x + y + z + 3/x + 9/(2y) + 4/z`
`= ((3x)/4 + x/4) + ((2y)/4 + (2y)/4) + ((3z)/4 + z/4) + 3/x + 9/(2y) + 4/z`
`= ((3x)/4 + 3/x) + ((2y)/4 + 9/(2y)) + ((z)/4 + 4/z) + x/4 + (2y)/4 + (3z)/4`
`= ((3x)/4 + 3/x) + ((2y)/4 + 9/(2y)) + ((z)/4 + 4/z) + (x + 2y + 3z)/4`
Áp dụng BĐT Cauchy cho `3` số `x; y; z` dương, ta có:
`((3x)/4 + 3/x) ≥ 2.`$\sqrt{\dfrac{3x}{4} . \dfrac{3}{x}}$ `= 3`
`((2y)/4 + 9/(2y)) ≥ 2.`$\sqrt{\dfrac{2y}{4} . \dfrac{9}{2y}}$ `= 2.`$\sqrt{\dfrac{9}{4}}$ `= 3`
`((z)/4 + 4/z) ≥ 2.`$\sqrt{\dfrac{z}{4} . \dfrac{4}{z}}$ `= 2`
`⇒ ((3x)/4 + 3/x) + ((2y)/4 + 9/(2y)) + ((z)/4 + 4/z) ≥ 3 + 3 + 2 = 8`
Ta có: `x + 2y + 3z ≥ 20`
`⇒ (x + 2y + 3z)/4 ≥ 20/4 = 5`
`⇒ A ≥ 8 +5 = 13`
Vậy min `A` là `13` khi: $\begin{cases} \dfrac{3x}{4} = \dfrac{3}{x}\\\dfrac{2y}{4} = \dfrac{9}{2y}\\\dfrac{z}{4} = \dfrac{4}{z} \end{cases}$
`⇔` $\begin{cases} x = 2\\y = 3\\z = 4\end{cases}$