Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng: a. a^3 + b^3 + c^3 − 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca). b. Biết a, b, c là ba số thực thoả mãn a^3 + b^3 + c^3 = 3abc và a + b + c ̸= 0. Chứng minh a = b = c.

Đáp án:

↓

Giải thích các bước giải:

$a)$

$A = a3 + b3 +c3 -3abc$ thành nhân tử.

Lời giải:

Từ $(a+b)3= a3 + 3a2b +3ab2 + b3$

$= a3 + b3 + 3ab (a+b)$

Ta suy ra: $a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b) (1)$

áp dụng hằng đẳng thức $(1)$ vào giải bài toán ta có:

$A = (a3 + b3) + c3 - 3abc$

$= (a+b)3 - 3ab (a+b) + c3 - 3abc$

$= (a+b)3 + c3 - 3ab (a+b) - 3abc$

$ = (a+b+c) (a2 +2ab + b2 -ac - bc + c2 - 3ab)$

$= (a+b+c) (a2+ b2 +c2 -ab - bc - ac)$

a,

$a^3+b^3+c^3-3abc$

$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$

$=(a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)-3ab(a+b+c)$

$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

$=>$đpcm.

b,

$a^3+b^3+c^3=3abc$

$=>a^3+b^3+c^3-3abc=0$

$=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$

Do $a+b+c\ne 0$

$=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$

$<=>a-b=0,b-c=0,a-c=0$

$<=>a=b=c$

*Chứng minh: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

Vế trái: $(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x(x+y)+y(x+y)=x^2+2xy+y^2$

Tương tự: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

*Chứng minh: $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$

Vế trái: $=(x+y)^2(x+y)=(x^2+2xy+y^2)(x+y)=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2=x^3+y^3+3xy(x+y)$