cho B=(căn 1/căn x + căn x/căn x + 1) : căn x / x + căn x với x>0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của B

Đáp án + giải thích các bước giải:

`B=(1/\sqrt{x}+\sqrt{x}/(\sqrt{x}+1)):\sqrt{x}/(x+\sqrt{x}) (x>0)`

`=(\sqrt{x}+1+x)/(\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)).(\sqrt{x}(\sqrt{x}+1))/\sqrt{x}`

`=(x+\sqrt{x}+1)/\sqrt{x}`

`=\sqrt{x}+1+1/\sqrt{x}`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`\sqrt{x}+1/\sqrt{x}>=2\sqrt{\sqrt{x}.1/\sqrt{x}}=2`

`->\sqrt{x}+1+1/\sqrt{x}>=2+1`

`->B>=3`

Dấu bằng xảy ra khi `\sqrt{x}=1/\sqrt{x}`

`->x=1(TM)`

Đáp án:

\(Min = 3\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\left( {DK:x > 0} \right)\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
 = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\\
Do:x > 0\\
BDT:Co - si:\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}} \\
 \to \sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3\\
 \to Min = 3\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  = \dfrac{1}{{\sqrt x }}\\
 \to x = 1
\end{array}\)