Cho $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ có : $AM $\bot$ $BC$ , $BC = 6cm$ , $AB = 5cm$ $a)$ Tính $AM$ $b)$ Từ $M$ kẻ $MH $\bot$ $AB $MK$ $\bot$ $AC$ Chứng minh : $\triangle$ $BMH$ =$ $\triangle$ $CMK$ $c)$ Chứng minh $HK // BC$ $d)$ Trên tia đối của tia $MA$ lấy $N$ sao cho $MN = MA$ Chứng minh : $BN = CN$ * Quỳ xuồng lậy các a chị giúp em

Đáp án:

a) $AM=4cm$

b) $\triangle BMH=\triangle CMK$

c) $HK//BC$

d) $BN=CN$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ cân tại A, đường cao AM (gt)

$\to$ AM đồng thời là đường trung tuyến

$MB=MC=\dfrac{1}{2}BC=3(cm)$

$\triangle AMB$ vuông tại M:

$AM^2+MB^2=AB^2$ (định lý Pyatgo)

$\to AM=\sqrt{AB^2-MB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(cm)$

b)

$\triangle ABC$ cân tại A (gt)

$\to AB=AC$ (2 cạnh bên )

$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (2 góc ở đáy)

Xét $\triangle BMH$ và $\triangle CMK$:

$\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\,\,\,(=90^o)$

$MB=MC$ (cmt)

$\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\,\,\,(\widehat{ABC}=\widehat{ACB})$

$\to\triangle BMH=\triangle CMK$ (ch - gn)

c)

$\triangle BMH=\triangle CMK$ (cmt)

$\to BH=CK$ (2 cạnh tương ứng)

Ta có: $AB=AC$ (cmt)

$\to AH+HB=AK+KC$

$\to AH=AK$

$\to\triangle AHK$ cân tại A

$\to\widehat{AHK}=\widehat{AKH}$ (2 góc tương ứng)

$\widehat{HAK}+\widehat{AHK}+\widehat{AKH}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{HAK}+2\widehat{AKH}=180^o$ (1)

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (cmt)

$\to\widehat{BAC}+2\widehat{ACB}=180^o$ (2)

Từ (1), (2) $\to\widehat{AKH}=\widehat{ACB}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to HK//BC$

d)

Xét $\triangle BMN$ và $\triangle CMN$:

$MB=MC$ (cmt)

$\widehat{BMN}=\widehat{CMN}\,\,\,(=90^o)$

$MN$: chung

$\to\triangle BMN=\triangle CMN$ (c.g.c)

$\to BN=CN$ (2 cạnh tương ứng)

$#ProTopTop$

Đáp án $+$ Giải thik các bước giải 

$a,$ Xét $\triangle$ $AMB$ và $\triangle$ $AMC$ ta có : 

$\widehat{AMB}$ $=$ $\widehat{AMC}$ $= 90^o$ ( vì $AM$ $\bot$ $BC$ )

$AB = AC$ ( gt ) ( Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ ) 

$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{ACB}$ ( Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ ) 

$\longrightarrow$ $\triangle$ $AMB$ $=$ $\triangle$ $AMC$ ( cạnh huyền - góc nhọn ) 

$\longrightarrow$ $MB = MC$ ( $2$ cạnh tương ứng )

Mà $BC = 6cm$

$\longrightarrow$ $MB = MC = 3cm$

Xét $\triangle$ $AMB$ vuông tại $M$ ta có : 

$AB^2 = AM^2 + MB^2$ ( định lý Pitago )

hay $5^2 = AM^2 + 3^2$

$\longrightarrow$ $AM^2 = 25 - 9$

$\longrightarrow$ $AM^2 = 16$

$\longrightarrow$ $AM = 4$

Vậy $AM = 4cm$

$------------------------$

$b,$ Xét $\triangle$ BMH và $\triangle$ CMK ta có : 

$\widehat{BHM}$ $=$ $\widehat{CKM}$ $= 90^o$ ( vì $MH$ $\bot$ $AB$ ; $MK$ $\bot$ $AC$ )

$BM = MC$ ( cmt ) 

$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{ACB}$ ( cmt )

$\longrightarrow$ $\triangle$ $BMH$ $=$ $\triangle$ $CMK$ ( cạnh huyền - góc nhọn ) 

$--------------------------$

$c,$ Gọi giao điểm của $Hk$ và $AM$ là $I$ 

Ta có : $AK + KC = AC$ ( tính chất $\pm$ cạnh ) 

$AH + HB = AB$ ( tính chất $\pm$ cạnh ) 

Mà $KC = HB$ ( vì $\triangle$ $BMH$ $=$ $\triangle$ $CMK$ )

$AB = AC$ ( cmt )

$\longrightarrow$ $AK = AH$

$\longrightarrow$ $\triangle$ $AHK$ cân tại $A$ ( dhnb $\triangle$ cân ) 

$\longrightarrow$ $\widehat{IKA}$ $= ( 180^o -$ $\widehat{BAC}$ ) $:2$  (1)

Ta lại có : $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ ( gt )

$\longrightarrow$ $\widehat{ACB}$ $= ( 180^o -$ $\widehat{BAC}$ ) $:2$  (2)

Từ (1) và (2)

$\longrightarrow$ $\widehat{ACB}$ $=$ $\widehat{IKA} ( $=$ ( 180^o -$ $\widehat{BAC}$ ) $:2$ )

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị

$\longrightarrow$ $HK // BC$ ( dhnb )

$----------------------------------$

$d,$ Ta có : $AM$ $\bot$ $BC$ ( gt )

$\longrightarrow$ $\widehat{BMA}$ $=$ $\widehat{CMA}$ $=$ $\widehat{CMN}$ $=$ $\widehat{BMN}$ $= 90^o$ 

Xét $\triangle$ $BMN$ và $\triangle$ $CMN$ ta có :

$\widehat{CMN}$ $=$ $\widehat{BMN}$ $= 90^o$ ( cmt )

$MB = MC$ ( cmt )

$MA = MN$ ( cmt )

$\longrightarrow$ $\triangle$ $BMN$ $=$ $\triangle$ $CMN$ ( cạnh góc vuông - cạnh góc vuông )

$\longrightarrow$ $BN = CN$ ( $2$ cạnh tương ứng )