cho `a,b,c >0` và `\frac{1}{1+a}` `+` `\frac{1}{1+b}``+ ``\frac{1}{1+c}` `=2` . Tìm giá trị lớn nhất của abc
2 câu trả lời
Vì trên đề ta có:`1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)=2`, ta có:
`1/(1+a)`
`=(1-1/(1+b))+(1-1/(1+c))`
`=b/(1+b)+c/(1+c)`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
`b/(1+b)+c/(1+c)>=2\sqrt{(bc)/((1+b)(1+c))}`
Hoặc `1/(1+a)>=2\sqrt{(bc)/((1+b)(1+c))}`
Chừng minh tương tự
`1/(1+b)>=2\sqrt{(ca)/((1+c)(1+a))}`
`1/(1+c)>=2\sqrt{(bc)/((1+a)(1+c))}`
Nhân `3` hẳng thức vừa nhận được theo vế, ta được:
`1/(1+a)xx1/(1+b)xx1/(1+c)>=2\sqrt{(bc)/((1+b)(1+c))}xx2\sqrt{(ca)/((1+c)(1+a))}xx2\sqrt{(bc)/((1+a)(1+c))}`
`<=>1/((1+a)(1+b)(1+c))>=8(abc)/((1+a)(1+b)(1+c))`
`<=>8abc<=1`
`<=>abc<=1/8`
Dấu "`=`" xảy ra khi:
`a=b=c=1/2`
Vậy `Max=1/8` khi `a=b=c=1/2`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm