Cho a,b,c,>0 sao cho a+b+c nhỏ hơn hoặc bằng 1 $\frac{1}{a^2+2bc}$+ $\frac{1}{b^2+2ac}$+$\frac{1}{c^2+2ab}$ $\geq$9

Đáp án:

    Đặt `x=a^2+2bc`  `;`  `y=b^2+2ac  `;`  z=c^2+2ab`

    Ta có: `x+y+z=(a+b+c)^2<1`

        `1/{a^2+2bc}+1/{b^2+2ac}+1/{c^2+2ab}<=>1/x+1/y+1/zge9`      Với `x+y+z<1` và `x, y, z>0`

     Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

            $x+y+z\ge3.\sqrt[3]{xyz}$

            $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}$

    `=>(x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})ge9`

    Mà `x+y+z<1`

       Vậy `\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}ge9`     `(đpcm)`

Đáp án:

áp dụng bdt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>=\frac{9}{a+b+c}$(chứng minh theo bunhia)

Giải thích các bước giải:

$\frac{1}{a^{2}+2bc}+\frac{1}{b^{2}+2ca}+\frac{1}{c^{2}+2ab} ≥ \frac{9}{a^{2}+2bc+b^{2}+2ca+c^{2}+2ab}=\frac{9}{(a+b+c)^{2}} ≥9$

dấu = xảy ra khi

$a+b+c=1$

$\frac{1}{a^{2}+2bc}=\frac{1}{b^{2}+2ca}=\frac{1}{c^{2}+2ab}$

=> $a=b=c=\frac{1}{3}$