Cho 2019 số nguyên dương phân biệt $a_1;a_2;a_3;.\!.\!.;a_{2019}>1$. Chứng minh $(a_1^2+1)(a_2^2+1)(a_3^2+1).\!.\!.\!(a_{2019}^2+1)\!\;\!\!\not{\vdots}\ \left(a_1a_2a_3.\!.\!.a_{2019}\right)^2$.
2 câu trả lời
Xét `((a_1^2 +1)(a_2^2 +1)(a_3^2 +1)...(a_2019^2 +1))/((a_1 a_2 a_3...a_2019)^2)=(1+1/(a_1^2))(1+1/(a_2^2))(1+1/(a_3^2))...(1+1/(a_2019^2))`
`<=(1+1/(2^2))(1+1/(3^2))(1+1/(4^2))...(1+1/(2020^2))=(2^2 +1)/(2^2).(3^2 +1)/(3^2).(4^2 +1)/(4^2)...(2020^2 +1)/(2020^2)`
$\bullet$ Ta chứng minh bổ đề sau : `a>b>n>0` thì `a/b<(a-n)/(b-n)`
Bất đẳng thức `<=>ab-an<ab-bn<=>bn<an<=>b<a` ( Luôn đúng )
Do đó : `(2^2 +1)/(2^2)<(2^2 +1-1)/(2^2 -1)=(2^2)/(1.3),(3^2 +1)/(3^2)<(3^2)/(2.4),...,(2020^2 +1)/(2020^2)<(2020^2)/(2019.2021)`
`=>(2^2 +1)/(2^2).(3^2 +1)/(3^2).(4^2 +1)/(4^2)...(2020^2 +1)/(2020^2)< (2^2)/(1.3). (3^2)/(2.4) . (4^2)/(3.5) ... (2020^2 )/(2019.2021)`
`=(2.3.4...2020)/(1.2.3...2019). (2.3.4...2020)/(3.4.5..2021)=2020. 2/2021=4040/2021<2`
`=>((a_1^2 +1)(a_2^2 +1)(a_3^2 +1)...(a_2019^2 +1))/((a_1 a_2 a_3...a_2019)^2)<2`
Mà `((a_1^2 +1)(a_2^2 +1)(a_3^2 +1)...(a_2019^2 +1))/((a_1 a_2 a_3...a_2019)^2)>1`
`=>((a_1^2 +1)(a_2^2 +1)(a_3^2 +1)...(a_2019^2 +1))/((a_1 a_2 a_3...a_2019)^2)`$\not\vdots$`NN`
`=>(a_1^2 +1)(a_2^2 +1)(a_3^2 +1)...(a_2019^2 +1)`$\not\vdots$`(a_1 a_2 a_3 ...a_2019)^2` ( dpcm )
Vậy `(a_1^2 +1)(a_2^2 +1)(a_3^2 +1)...(a_2019^2 +1)`$\not\vdots$`(a_1 a_2 a_3 ...a_2019)^2`
Đặt $A=\dfrac{(a_1^2+1)(a_2^2+1)...(a_{2019}^2+1)}{a_1^2a_2^2...a_{2019}^2}$
$=\dfrac{a_1^2+1}{a_1^2}.\dfrac{a_2^2+1}{a_2^2}...\dfrac{a_{2019}^2+1}{a_{2019}^2}$
Xét: $\dfrac{a_1^2+1}{a_1^2}$
$=1+\dfrac{1}{a_1^2}$
Do $a_1>1$
Hiển nhiên $1+\dfrac{1}{a_1^2}$ không là số nguyên dương
$=>\dfrac{a_1^2+1}{a_1^2}$ không là số nguyên dương
Tương tự:
$\dfrac{a_2^2+1}{a_2^2}$ không là số nguyên dương
$....$
$\dfrac{a_{2019}^2+1}{a_{2019}^2}$ không là số nguyên dương
$=>A$ không là số nguyên dương
$=>$ có đpcm.
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
