Câu 1: chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd trong đó 1 ≤a ≤b ≤c ≤d ≤9 Câu 2:Tính tổng S =2018C3-2 × 2018C4 +3 × 2018C5 -4 × 2018C6 + .....- 2016 × 2018C2018

Đáp án:

Câu 1: 0,055

Câu 2: S = 2016

Giải thích các bước giải:

Câu 1: 

Ta có: $n(\Omega ) = 9.10.10.10 = 9000$

Theo giả thiết:  

$\eqalign{
  & 1 \le a \le b \le c \le d \le 9  \cr 
  &  \Rightarrow 1 \le a < b + 1 < c + 2 < d + 3 \le 12 \cr} $

Đặt b' = b + 1, c' = c + 2, d' = d + 3 ta được:

$1 \le a < b' < c' < d' \le 12$

Chọn 4 số bất kì trong tập $\left\{ {1;2;...;12} \right\}$ có $C_{12}^4 = 495$ cách

Sắp xếp 4 số đã chọn theo thứ tự từ lớn đến nhỏ có 1 cách

Vậy, xác suất để chọn được số thỏa mãn yêu cầu bài toán: ${{495} \over {9000}} = 0,055$

Câu 2: 

Ta có khai triển: 

${(1 - x)^2018} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... - C_{2018}^{2017}{x^{2017}} + C_{2018}^{2018}{x^{2018}}$

Chia cả 2 vế cho $x^{2}$ ta được: 

${{{{(1 - x)}^{2018}}} \over {{x^2}}} = {{C_2018^0} \over {{x^2}}} - {{C_2018^1} \over x} + C_2018^2 - ... - C_{2018}^{2017}{x^{2015}} + C_{2018}^{2018}{x^{2016}}$

Lấy đạo hàm 2 vế: 

${{ - 2018{{(1 - x)}^{2017}}{x^2} + {{(1 - x)}^{2018}}.2x} \over {{x^4}}} = {{ - 2C_{2018}^0} \over {{x^3}}} + {{C_{2018}^1} \over {{x^2}}} - ... - 2015C_{2018}^{2017}{x^{2014}} + 2016C_{2018}^{2018}{x^{2015}}$

Như vậy: 

${{ - 2018{{(1 - x)}^{2017}}x + {{(1 - x)}^{2018}}.2} \over {{x^3}}} = {{ - 2C_{2018}^0} \over {{x^3}}} + {{C_{2018}^1} \over {{x^2}}} - C_{2018}^3 + 2xC_{2018}^4... - 2015C_{2018}^{2017}{x^{2014}} + 2016C_{2018}^{2018}{x^{2015}}$

Thay x = 1 vào phương trình trên: 

$0 = {{ - 2C_{2018}^0} \over 1} + {{C_{2018}^1} \over 1} - C_{2018}^3 + 2C_{2018}^4... - 2015C_{2018}^{2017} + 2016C_{2018}^{2018}$

Vậy $S =  - 2.C_{2018}^0 + C_{2018}^1 = 2016$