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Đặt: `a =` $\sqrt[3]{9 + 4\sqrt{5}}$ `⇒ a³ = 9 + 4\sqrt{5}`
`b =` $\sqrt[3]{9 - 4\sqrt{5}}$ `⇒ b³ = 9 - 4\sqrt{5}`
`⇒ a³ + b³ = 9 + 4\sqrt{5} + (9 - 4\sqrt{5}) = 18`
`ab =` `(`$\sqrt[3]{9 + 4\sqrt{5}}$`)(`$\sqrt[3]{9 - 4\sqrt{5}}$`)`
`=` $\sqrt[3]{(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})}$
`= 1`
Ta có:
`(a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²`
`= a³ + b³ + 3ab(a + b)`
`= 18 + 3.1.(a + b)`
`= 18 + 3(a + b)`
`⇒ (a + b)³ - 3(a + b) - 18 = 0`
`⇔ (a + b)³ - 3(a + b)² + 3(a + b)² - 9(a + b) + 6(a + b) - 18 = 0`
`⇔ (a + b)²(a + b - 3) + 3(a + b)(a + b - 3) + 6(a + b - 3) = 0`
`⇔ (a + b - 3)[(a + b)² + 3(a + b) + 6] = 0`
Vì: `(a + b)² + 3(a + b) + 6 = [(a + b)² + 3/2 . 2 . (a + b) + 9/4] + 15/4 = (a + b + 3/2)² + 15/4 > 0`
`⇒ a + b - 3 = 0`
`⇔ a + b = 3`
`⇒` $\sqrt[3]{9 + 4\sqrt{5}}$ `+` $\sqrt[3]{9 - 4\sqrt{5}}$ `= 3`