Bài 4:

Cho tam giác ABC cân ở A, AD vuông góc với BC. Vẽ DM vuông góc với AB tại M, DN vuông góc với AC tại N.

a) Chứng minh: D là trung điểm của BC

b) Chứng minh: Tam giác AMN cân c) Chứng minh: MN // BC

Đáp án:

a) D là trung điểm của BC

b) $\triangle AMN$ cân tại A

c) $MN//BC$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ADB$ và $\triangle ADC$:

$\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\,\,\,(=90^o)$

$AB=AC$ ($\triangle ABC$ cân tại A)

$AD$: chung

$\to\triangle ADB=\triangle ADC$ (ch - cgv)

$\to DB=DC$ (2 cạnh tương ứng)

$\to$ D là trung điểm của BC

b)

$\triangle ADB=\triangle ADC$ (cmt)

$\to\widehat{DAB}=\widehat{DAC}$ (2 góc tương ứng)

Xét $\triangle DMA$ và $\triangle DNA$:

$\widehat{DMA}=\widehat{DNA}\,\,\,(=90^o)$

$AD$: chung

$\widehat{DAM}=\widehat{DAN}\,\,\,(\widehat{DAB}=\widehat{DAC})$

$\to\triangle DMA=\triangle DNA$ (ch - gn)

$\to AM=AN$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AMN$ cân tại A

c)

$\triangle ABC$ cân tại A (gt)

$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{BAC}+2\widehat{ACB}=180^o$ (1)

Lại có:

$\triangle AMN$ cân tại A (cmt)

$\to\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{MAN}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{MAN}+2\widehat{ANM}=180^o$ (2)

Từ (1), (2) $\to\widehat{ACB}=\widehat{ANM}$

Mà 2 góc này nằm ở vị đồng vị

$\to MN//BC$