Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. a/ Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân. b/ Kẻ BH ^ AD ( H Î AD ), kẻ CK ^ AE ( K Î AE). Chứng minh rằng BH = CK và HK//BC c/ Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao? d/ Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM, BH, CK đồng quy.

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD,\Delta ACE$ có:

$AB=AC$

$\widehat{ABD}=180^o-\hat B=180^o-\hat C=\widehat{ACE}$

$DB=CE$

$\to\Delta ABD=\Delta ACE(c.g.c)$

$\to AD=AE$

$\to\Delta ADE$ cân tại $A$

b.Từ câu a $\to \widehat{BAD}=\widehat{CAE}$

$\to\widehat{BAH}=\widehat{CAK}$

Xét $\Delta ABH,\Delta ACK$ có:

$\widehat{HAB}=\widehat{CAK}$

$AB=AC$

$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}(=90^o)$

$\to\Delta AHB=\Delta AKC$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AH=AK, BH=CK$

$\to \Delta AHK$ cân tại $A$

Mà $\Delta ADE$ cân tại $A$

$\to \widehat{AHK}=90^o-\dfrac12\widehat{HAK}=90^o-\dfrac12\widehat{DAE}=\widehat{ADE}$

$\to HK//DE$

$\to HK//BC$

c.Xét $\Delta AHO,\Delta AKO$ có:

Chung $AO$

$\widehat{AHO}=\widehat{AKO}(=90^o)$

$AH=AK$

$\to\Delta AHO=\Delta AKO$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to OH=OK$

Mà $BH=CK$ 

$\to OB=OH-BH=OK-CK=OC$

$\to\Delta OBC$ cân tại $O$

d.Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC$

Mà $AB=AC, OB=OC$

$\to A, M, O\in$ trung trực $BC$

$\to A, M, O$ thẳng hàng

$\to AM, BH, CK$ đồng quy tại $O$