Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC < AB, lấy M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA a) Chứng minh: CD // AB b) Kẻ AH BC tại H, trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA. Chứng minh: tam giác CAE là tam giác cân. c) Chứng minh: BD = CE d) Chứng minh: tam giác MDE là tam giác cân.

Đáp án:

a) $CD//AB$

b) $\triangle CAE$ cân tại C

c) $BD=CE$

d) $\triangle MDE$ cân tại M

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle CDM$ và $\triangle BAM$:

$MD=MA$ (gt)

$\widehat{CMD}=\widehat{BMA}$ (đối đỉnh)

$MC=MB$ (gt)

$\to\triangle CDM=\triangle BAM$ (c.g.c)

$\to\widehat{CDM}=\widehat{BAM}$ (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to CD//AB$

b)

Xét $\triangle AHC$ và $\triangle EHC$:

$HA=HE$ (gt)

$\widehat{AHC}=\widehat{EHC}\,\,\,(=90^o)$

$HC$: chung

$\to\triangle AHC=\triangle EHC$ (c.g.c)

$\to CA=CE$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle CAE$ cân tại C

c)

Xét $\triangle BDM$ và $\triangle CAM$:

$MD=MA$ (gt)

$\widehat{BMD}=\widehat{CMA}$ (đối đỉnh)

$MB=MC$ (gt)

$\to\triangle BDM=\triangle CAM$ (c.g.c)

$\to BD=CA$ (2 cạnh tương ứng)

Mà $CA=CE$ (cmt)

$\to BD=CE$

d)

$\triangle AHC=\triangle EHC$ (cmt)

$\to\widehat{ACH}=\widehat{ECH}$ (2 góc tương ứng)

Xét $\triangle ACM$ và $\triangle ECM$:

$CA=CE$ (cmt)

$\widehat{ACM}=\widehat{ECM}\,\,\,(\widehat{ACH}=\widehat{ECH})$

$MC$: chung

$\to\triangle ACM=\triangle ECM$ (c.g.c)

$\to MA=ME$ (2 cạnh tương ứng)

Mà $MA=MD$ (gt)

$\to ME=MD$

$\to\triangle MDE$ cân tại M