Bài 1: Cho △ABC có M là trung điểm của BC, AM vuông góc với BC. Từ M kẻ Mt // AC, từ B kẻ đường vuông góc với BC cắt Mt tại N. a) Chứng minh AM là phân giác của góc BAC; b) Chứng minh △AMB = △NBM; c) MN cắt AB tại I. Chứng minh I là trung điểm của AB; d) Chứng minh AN // BC.

$#ProTopTop$

Đáp án $+$ Giải thik các bước giải 

Xét  $\Delta$ $AMB$ và $\Delta$ $AMC$ ta có : 

$AM$ chung

`\hat{AMB}` $=$ `\hat{AMC}` $= 90$^o$ ( vì $AM$ $\bot$ $BC$ )  

$MB = MC$ ( vì $M$ là trung điểm của $BC$ )

$\Longrightarrow$ $\Delta$ $AMB$ = $\Delta$ $AMC$ ( c . g . c )

$\Longrightarrow$ $\widehat{MAB}$ $=$ $\widehat{MAC}$ ( $2$ góc tương ứng )

$\Longrightarrow$ $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

$------------------$ 

Có $MN // AC$ ( gt )

$\Longrightarrow$ $\widehat{NMB}$ $=$ $\widehat{C}$ ( $2$ góc đồng vị )

Mà $\widehat{ABM}$ $=$ $\widehat{C}$ ( vì $\Delta$ $AMB$ = $\Delta$ $AMC$ )

$\Longrightarrow$ $\widehat{NMB}$ $=$ $\widehat{ABM}$

Xét $\Delta$ $AMB$ và $\Delta$ $NBM$ ta có

$\widehat{NMB}$ $=$ $\widehat{ABM}$ ( cmt )

$MB$ chung 

$\widehat{AMB}$ $=$ $\widehat{NBM}$ $= 90^o$ ( vì AM $\bot$ BC  ;  $BN$ $\bot$ $BC$ )

$\Longrightarrow$ $\Delta$ $AMB$ $=$ $\Delta$ $NBM$ ( c . g . c )

$-------------------$

Có : $BN$ $\bot$ $BC$ ( gt )

AM $\bot$ BC ( gt ) 

$\Longrightarrow$ $BN // AM$ ( quan hệ từ vuông góc đến song song )

$\Longrightarrow$ $\widehat{BNM}$ $=$ $\widehat{NMA}$ ( $2$ góc sole trong )

$\Longrightarrow$ $\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{NBA}$ ( $2$ góc sole trong )

Xét $\Delta$ $INB$ và $\Delta$ $IMA$ ta có : 

$\widehat{BNM}$ $=$ $\widehat{NMA}$ ( cmt )

$NB = MA$ ( \Delta$ $AMB$ $=$ $\Delta$ $NBM$  )

$\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{NBA}$ ( cmt )

$\Longrightarrow$ $\Delta$ $INB$ = $\Delta$ $IMA$ ( g . c . g )

$\Longrightarrow$ $IA = IB$ ( $2$ cạnh tương ứng )

$\Longrightarrow$ $I$ là trung điểm của $AB$

$-------------------------$ 

Xét $\Delta$ $IAN$ và $\Delta$ $IBM$ ta có :

$IA = IB$ ( cmt )

$\widehat{AIN}$ $=$ $\widehat{BIM}$ ( $2$ góc đối đỉnh )

$IN = IM$ ( cmt )

$\Longrightarrow$ $\Delta$ $IAN$ $=$ $\Delta$ $IBM$ ( c . g . c )

$\Longrightarrow$ $\widehat{IAN}$ $=$ $\widehat{IBM}$ ( $2$ góc tương ứng )

Mà $2$ góc này ở vị trí sole trong 

$\Longrightarrow$ $AN // BC$ ( dhnb )