(a ²+3) (a ²+3) (a ²+3) có là số chính phương hay không??? Giải thích

Đặt $A = (a^2 + 3)(a^2 + 3)(a^2+3)$, ta có

$A = (a^2 + 3)(a^2 + 3)(a^2+3) = (a^2+3)^3$

Ta thấy rằng A là lập phương của một số, vậy để A là một số chính phương, tức là bình phương của một số, thì $(a^2+3)^3$ phải có số mũ chẵn, do đó $a^2+3$ phải là lũy thừa chẵn của một số tự nhiên nào đó, tức một số chính phương.

Ta có $a^2$ có tận cùng là $0, 1, 4, 5, 6, 9,$, vậy $a^2 + 3$ sẽ có tận cùng là $2, 3, 4, 7, 8, 9$. Trong các số vừa nêu, chỉ có 4 và 9 là các số có tận cùng khả dĩ để $a^2 + 3$ là số chính phương.

Với số chính phương có tận cùng là 6, tức là 16, ta suy ra $a^2 = 13$. Điều này vô lý. Vậy $a^2 + 3$ ko thể có tận cùng là 9.

Vậy $a^2 + 3$ phải có tận cùng là 4. Với $a = 1$ thì ta có $a^2 +3 = 4$ và do đó

$4^3 = 64 = 8^2$

là một số chính phương. Tuy nhiên, với a = 8 ta có

$8^2 + 3 = 64 + 3 = 67$

ko là số chính phương.

Vậy giá trị duy nhất của a thỏa mãn A là số chính phương là $a = 1$.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $A = (a^2 + 3)(a^2 + 3)(a^2+3)$, ta có

$A = (a^2 + 3)(a^2 + 3)(a^2+3) = (a^2+3)^3$

Ta thấy rằng A là lập phương của một số, vậy để A là một số chính phương, tức là bình phương của một số, thì $(a^2+3)^3$ phải có số mũ chẵn, do đó $a^2+3$ phải là lũy thừa chẵn của một số tự nhiên nào đó, tức một số chính phương.

Ta có $a^2$ có tận cùng là $0, 1, 4, 5, 6, 9,$, vậy $a^2 + 3$ sẽ có tận cùng là $2, 3, 4, 7, 8, 9$. Trong các số vừa nêu, chỉ có 4 và 9 là các số có tận cùng khả dĩ để $a^2 + 3$ là số chính phương.

Với số chính phương có tận cùng là 6, tức là 16, ta suy ra $a^2 = 13$. Điều này vô lý. Vậy $a^2 + 3$ ko thể có tận cùng là 9.

Vậy $a^2 + 3$ phải có tận cùng là 4. Với $a = 1$ thì ta có $a^2 +3 = 4$ và do đó

$4^3 = 64 = 8^2$

là một số chính phương. Tuy nhiên, với a = 8 ta có

$8^2 + 3 = 64 + 3 = 67$

ko là số chính phương.

Vậy giá trị duy nhất của a thỏa mãn A là số chính phương là $a = 1$.