7.2^2n-2 + 3^2n-1 chia hết cho 5 . CM với mọi n ∈ N*

A = 7.2^(2n-2) + 3^(2n-1)

A = 7.2^(2n-2) - 2^(2n-1) + 3^(2n-1) + 2^(2n-1)

A = 7.2^(2n-2) - 2.2^(2n-2) + (3+2).p

A = 5.2^(2n-2) + 5p => A chia hết cho 5

 sử dụng:

a^n + b^n = (a+b)[a^(n-1) + a^(n-2).b +..+ b^(n-1)] = (a+b)p (với n lẻ, p nguyên)

vì 2n-1 lẻ nên ta có: 3^(2n-1) + 2^(2n-1) = (3+2).p = 5p

Giải thích các bước giải:

$\text{Ta chứng minh theo quy nạp}$

$A_n=7.2^{2n-2}+3^{2n-1}$ 

$\text{Với n=1}\rightarrow A_1=10\quad\vdots\quad 5$

$\text{Với n=2}\rightarrow A_2=55\quad\vdots\quad 5$

.....

Giả sử đúng với $n=k$ ta có: $7.2^{2k-2}+3^{2k-1}$ $\vdots$ $5$

Cần chứng minh đúng với $n=k+1$ Thật vậy:

$A_{k+1}=7.2^{2(k+1)-2}+3^{2(k+1)-1}=7.2^{2k}+3^{2k+1}$

$\rightarrow A_{k+1}=2^2(7.2^{2k-2}+3^{2k-1})-2^2.3^{2k-1}+3^{2k+1}$

$\rightarrow A_{k+1}=2^2(7.2^{2k-2}+3^{2k-1})-3^{2k-1}(3^2-2^2)$

$\rightarrow A_{k+1}=2^2.A_k-5.3^{2k-1}\quad\vdots\quad 5$

$\rightarrow đpcm$