`\root(3)(x+1)+\root(3)(x-8)=1`

Đáp án: $x=7$

Giải thích các bước giải:

$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-8}=1$

Đặt $a=\sqrt[3]{x+1}$ ; $b=\sqrt[3]{x-8}$

$\Rightarrow a+b=1\Rightarrow b=1-a$

Với $a=\sqrt[3]{x+1}\Rightarrow {{a}^{3}}=x+1$

Với $b=\sqrt[3]{x-8}\Rightarrow {{b}^{3}}=x-8$

$\Rightarrow {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( x+1 \right)-\left( x-8 \right)$

$\Leftrightarrow {{a}^{3}}-{{\left( 1-a \right)}^{3}}=9$

$\Leftrightarrow {{a}^{3}}-\left( 1-3a+3{{a}^{2}}-{{a}^{3}} \right)-9=0$

$\Leftrightarrow 2{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+3a-10=0$

$\Leftrightarrow \left( 2{{a}^{3}}-4{{a}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}-2a \right)+\left( 5a-10 \right)=0$

$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}\left( a-2 \right)+a\left( a-2 \right)+5\left( a-2 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left( 2{{a}^{2}}+a+5 \right)=0$

$\Leftrightarrow a-2=0$ hoặc $2{{a}^{2}}+a+5$ (VN)

$\Leftrightarrow a=2$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+1}=2$

$\Leftrightarrow x+1=8$

$\Leftrightarrow x=7$