Đặt điện áp xoay chiều $u=220 \sqrt{2} \cos 100 \pi t(V)$ vào hai đầu mạch điện gồm điện trở thuần, tụ điện có điện dung C thay đổi được và cuộn cảm thuần có độ tự cảm $L=\frac{1}{\pi }\left( H \right)$ mắc nối tiếp. Khi $C={{C}_{1}}=\frac{{{10}^{-4}}}{\pi }\left( F \right)$ hoặc $C={{C}_{2}}=\frac{{{10}^{-4}}}{3\pi }\,\left( F \right)$ thì điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện có giá trị như nhau và độ lệch pha giữa điện áp u so với cường độ dòng điện qua mạch lần lượt là φ₁, φ_2. Tỉ số $\frac{\cos {{\varphi }_{1}}}{\cos {{\varphi }_{2}}}$ bằng

Cảm kháng của cuộn cảm thuần là: ${{Z}_{L}}=\omega L=100\left( \Omega \right)$

Dung kháng của tụ điện là:

$\left\{ \begin{align}& {{Z}_{{{C}_{1}}}}=\frac{1}{\omega {{C}_{1}}}=100\left( \Omega \right) \\& {{Z}_{{{C}_{2}}}}=\frac{1}{\omega {{C}_{2}}}=300\left( \Omega \right) \\\end{align} \right.$

Vì Z_C1 < Z_C2 nên khi mắc C₁ mạch có tính cảm kháng, khi mắc C₂ mạch có tính dung kháng.

Khi điện dung có giá trị C₁, hệ số công suất của mạch điện là:

$\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=1$

Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện là:

${{U}_{{{C}_{1}}}}=\frac{U}{Z}.{{Z}_{{{C}_{1}}}}=\frac{100U}{R}\,\,\left( 1 \right)$

Khi điện dung có giá trị C₂, tổng trở của mạch là:

$Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}$

Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện là:

${{U}_{{{C}_{2}}}}=\frac{U}{Z}.{{Z}_{{{C}_{2}}}}=\frac{300U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}\,\,\left( 2 \right)$

Theo đề bài ta có:

$\begin{align}& {{U}_{{{C}_{1}}}}={{U}_{{{C}_{2}}}}\Rightarrow \frac{100U}{R}=\frac{300U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}\Rightarrow R=10\sqrt{50}\left( \Omega \right) \\& \Rightarrow \cos {{\varphi }_{2}}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}=\frac{10\sqrt{50}}{\sqrt{5000+{{200}^{2}}}}=\frac{10\sqrt{50}}{30\sqrt{50}}=\frac{1}{3} \\& \Rightarrow \frac{\cos {{\varphi }_{1}}}{\cos {{\varphi }_{2}}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3. \\\end{align}$