Xác định hệ số x⁴ trong khai triển đa thức P(x)=(1+2x+3x²)^10

Đáp án:

 8085

Giải thích các bước giải:

\[{(1 + 2x + 3{x^2})^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} .{(2x + 3{x^2})^k} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {(\sum\limits_{i = 0}^k {C_{10}^k.C_k^i} } {.2^{k - i}}{.3^i}.{x^{k + i}})\]

Theo giả thiết ta có: 

\[\begin{array}{l}
k + i = 4\\
0 \le i \le k \le 10\\
i,k \in N
\end{array}\]

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}i = 0;k = 3\\i = 2;k = 2\end{array} \right.\) 

Hoặc i=1;k=3

Vậy hệ số của \[{x^4}\] là : \[C_{10}^4{.2^4} + C_{10}^3.C_3^1{.2^2}.3 + C_{10}^2.C_2^2{.3^2} = 8085\]