Tìm 5 số biết chúng lập thành một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 320

Đáp án:

$\left( {a;\,\,b;\,\,c;\,\,d;\,\,e} \right) = \left\{ {\left( { - 4;\,\, - 1;\,\,2;\,\,5;\,\,8} \right);\,\,\,\left( {8;\,\,5;\,\,2;\,\, - 1;\,\, - 4} \right)} \right\}.$

Giải thích các bước giải:

 Gọi 5 số cần tìm lần lượt là: \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\) và gọi công sai của CSC là: \(m.\)

Khi đó theo tính chất của CSC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\c + d = 2c\\c + e = 2d\\b = a + m\\c = a + 2m\\d = a + 3m\\e = a + 4m\end{array} \right..\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d + e = 10\\abcde = 320\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a + 10m = 10\\a\left( {a + m} \right)\left( {a + 2m} \right)\left( {a + 3m} \right)\left( {a + 4m} \right) = 320\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2m = 2\\2a\left( {a + m} \right)\left( {a + 3m} \right)\left( {a + 4m} \right) = 320\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - 2m\\2\left( {2 - 2m} \right)\left( {2 - 2m + m} \right)\left( {2 - 2m + 3m} \right)\left( {2 - 2m + 4m} \right) = 320\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2\left( {2 - 2m} \right)\left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)\left( {2 + 2m} \right) = 320\\ \Leftrightarrow \left( {4 - 4{m^2}} \right)\left( {4 - {m^2}} \right) = 160\\ \Leftrightarrow 16 - 4{m^2} - 16{m^2} + 4{m^4} - 160 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} - 20m - 144 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} =  - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{m^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3 \Rightarrow a =  - 4\\m =  - 3 \Rightarrow a = 8\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(a =  - 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4 + 3 =  - 1\\c =  - 4 + 2.3 = 2\\d =  - 4 + 3.3 = 5\\e =  - 4 + 4.3 = 8\end{array} \right..\)

Với \(a = 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 8 - 3 = 5\\c = 8 - 2.3 = 2\\d = 8 - 3.3 =  - 1\\e = 8 - 4.3 =  - 4\end{array} \right..\)

Vậy có 2 CS cần tìm là: \(\left( {a;\,\,b;\,\,c;\,\,d;\,\,e} \right) = \left\{ {\left( { - 4;\,\, - 1;\,\,2;\,\,5;\,\,8} \right);\,\,\,\left( {8;\,\,5;\,\,2;\,\, - 1;\,\, - 4} \right)} \right\}.\)