tính tổng các nghiệm của phương trình cos^2x -sin2x = căn2+cos^2(pi/2+x) trên khoảng (0;2pi) là

Đáp án:

$\dfrac{5\pi}4$

Lời giải:

Xét phương trình

$\cos^2x - \sin(2x) = \sqrt{2} + \cos^2\left( \dfrac{\pi}{2} + x \right)$

Áp dụng công thức tổng $\cos$ ta có

$\cos^2x - \sin(2x) = \sqrt{2} + \sin^2x$

$\Leftrightarrow 2\cos^2x - 2\sin(2x) = 2\sqrt{2} + 2\sin^2x$

$\Leftrightarrow 1 + \cos(2x) - 2\sin(2x) = 2\sqrt{2} + 1 - \cos(2x)$

$\Leftrightarrow \cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( 2x - \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \cos \left( 2x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos 0$

Vậy

$2x - \dfrac{\pi}{4} = 2k\pi$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi$

Do $x \in (0, 2\pi)$ nên

$0 < \dfrac{\pi}{8} + k\pi < 2\pi$

$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{8} < k < \dfrac{15}{8}$

Vậy $k = 0, 1$

Vậy tổng hai nghiệm là

$\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi}{8} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$

Vậy kết quả là $\dfrac{5\pi}{4}$.