tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (m-2)sin2x=m+1 vô nghiệm

$\begin{array}{l} \left( {m - 2} \right)\sin 2x = m + 1\,\,\,\left( * \right)\\ + )\,\,TH1:\,\,\,m = 2\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 0\sin 2x = 3\\ \Rightarrow \left( * \right)\,\,\,VN.\\ + )\,\,TH2:\,\,m \ne 2\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{m + 1}}{{m - 2}}\\ \left( * \right)\,\,\,VN \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{m + 1}}{{m - 2}} > 1\\ \frac{{m + 1}}{{m - 2}} < - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{m + 1 - m + 2}}{{m - 2}} > 0\\ \frac{{m + 1 + m - 2}}{{m - 2}} < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{3}{{m - 2}} > 0\\ \frac{{2m - 1}}{{m - 2}} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ \frac{1}{2} < m < 2 \end{array} \right..\\ KL. \end{array}$

Đáp án:

m>12m>12

Giải thích các bước giải:

TH1. Với m=2m=2, phương trình (m−2)sin2x=m+1⇔0=3(m−2)sin⁡2x=m+1⇔0=3: vô lý.

Suy ra m=2m=2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2. Với m≠2m≠2, phương trình (m−2)sin2x=m+1⇔sin2x=m+1m−2.(m−2)sin⁡2x=m+1⇔sin⁡2x=m+1m−2.

Để phương trình (∗)(∗) vô nghiệm ⇔m+1m−2∉[−1;1]⇔[m+1m−2>1m+1m−2<−1⇔m+1m−2∉[−1;1]⇔[m+1m−2>1m+1m−2<−1

⇔[m+1m−2−1>0m+1m−2+1<0⇔[3m−2>02m−1m−2<0⇔[m>212<m<2⇔{m>12m≠2.⇔[m+1m−2−1>0m+1m−2+1<0⇔[3m−2>02m−1m−2<0⇔[m>212<m<2⇔{m>12m≠2.

Kết hợp hai trường hợp, ta được m>12m>12 là giá trị cần tìm.