tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia 2 dư 1 chia 3 dư 1 chia 5 dư 4 chia 7 dư 3

Đáp án:

a= 199

Giải thích các bước giải:

 a chia 2 dư 1 nên a+1 chia hết cho 2 hay a+11 cũng chia hết cho 2

a chia 3 dư 1 nên a+2 chia hết cho 3 hay a+2+9=a+11 cũng chia hết cho 3

a chia 5 dư 4 nên a+1 chia hết cho 5, hay a+1+10=a+11 cũng chia hết cho 5

a chia 7 dư 3 nên a+4 chia hết cho 7 hay a+4+7=a+11 chia hết cho 7

Suy ra a+11 cùng chia hết cho 2; 3; 5; 7

a là số nhỏ nhất nên a+11 cũng là số nhỏ nhất

Do đó, a+11=BCNN (2;3;5;7)

Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau

Do vậy, a+11=2.3.5.7=210

Vậy a=199

Vì $a$ chia $2$ dư $1$ ⇒ $a+1 \vdots 2$ 

⇒  $a+11 \vdots 2$

Vì $a$ chia $3$ dư $1$ ⇒ $a+2 \vdots 3$ 

⇒  $a+2+9=a+11 \vdots 3$

Vì $a$ chia $5$ dư $4$ 

⇒ $a+1 \vdots 5$

⇒  $a+1+10=a+11 \vdots 5$

Vì $a$ chia $7$ dư $3$ 

⇒  $a+4 \vdots 7$ 

⇒ $a+4+7=a+11 \vdots 7$

Do đó $a + 11$ cùng chia hết cho $2, 3, 5, 7$

⇒ $\text{a + 11 ∈ BC(2, 3, 5, 7)}$

Mà $a + 11$ nhỏ nhất

⇒ $\text{a + 11 ∈ BCNN(2, 3, 5, 7)}$

Mà $2, 3, 5, 7$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

⇒ $\text{BCNN(2, 3, 5, 7) = 2 . 3 . 5 . 7 = 210}$

⇒ $a + 11 = 210$

⇒ $a = 199$

Vậy số $a$ nhỏ nhất cần tìm là $199$