Tìm số nguyên `x,y` sao cho tổng và tích của hai số đó lần lượt tỉ lệ với `2` và `3`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{xy}{3}\\ \Rightarrow 3(x+y)=2xy\\ \Rightarrow 3x+3y-2xy=0\\ \Rightarrow 3x+y(3-2x)=0\\ \Rightarrow y(2x-3)=3x\\ \Rightarrow y=\dfrac{3x}{2x-3} \left(x \ne \dfrac{3}{2}\right)\\ y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{3x}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ \Rightarrow 2.\dfrac{3x}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow \dfrac{6x}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow \dfrac{6x-9+9}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3(2x-3)+9}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow 3+\dfrac{9}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow  \dfrac{9}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ x \in \mathbb{Z} , \dfrac{9}{2x-3} \in \mathbb{Z} \\ \Rightarrow 2x-3 \in Ư(9)\\ Ư(9)=\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\}\\ \Rightarrow (2x-3) \in \{\pm 1;\pm 3;\pm 9\}\\ \Rightarrow x \in \{-3;0;1;2;3;6\}$

\begin{array}{|c|c|}\hline x&-3&0&1&2&3&6\\\hline y &1&0&-3&6&3&2 \\\hline\end{array}

Vậy các cặp $(x;y)$ cần tìm: $(-3;1);(0;0);(1;-3);(2;6);(3;3);(6;2).$