Tìm số hạng chứa x^3 trong khai triển (x - 2/x^2) biết n là một số tự nhiên thỏa mãn 1/2A2 + 1/3A2 + 1/4A2 +....+ 1/nA2 = 8/9

Giải thích các bước giải:

Ta có :

$\dfrac{1}{A^2_n}=\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}$

$\to \dfrac{1}{A^2_2}+\dfrac{1}{A^2_3}+..+\dfrac{1}{A^2_n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}2-\dfrac{1}3+..+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}n$

$\to 1-\dfrac{1}n=\dfrac{8}9\to n=9$

Lại có :

$(x-\dfrac{2}{x^2})^n=\sum_{k=0}^nC^{k}_n.x^k.(\dfrac{-2}{x^2})^{n-k}=\sum_{k=0}^nC^{k}_n.x^{3k-2n}(-2)^{n-k}$

$\to 3k-2n=3\to k=7$

$\to $số hạng chứa $x^3$ là : $C^7_9.(-2)^2.x^3=4C^7_9x^3$