Tìm hệ số x5 trong khai triển (-1+2x-5x2)11

Đáp án:

92334 

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng khai triển nhị thức New tơn ta được: 

\(
\begin{array}{l}
 ( - 1 + 2x - 5x^2 )^{11}  \\ 
  = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k ( - 1)^{11 - k} (2x - 5x^2 )^k }  \\ 
  = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k ( - 1)^{11 - k} \left( {\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m (2x)^{k - m} ( - 5x^2 )^m } } \right)}  \\ 
  = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k ( - 1)^{11 - k} \left( {\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m 2^{k - m} ( - 5)^m x^{k - m + 2m} } } \right)}  \\ 
  = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k ( - 1)^{11 - k} \left( {\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m 2^{k - m} ( - 5)^m x^{k + m} } } \right)}  \\ 
 \end{array}
\)

(Với m ≤ k ≤ 11)

Xét \(
k + m = 5(m \le k)
\) ta có các trường hợp:

m = 0, k = 5

m = 1, k = 4

m = 2, k = 3

Như vậy, hệ số của $x^{5}$ trong khai triển là: 

\(
C_{11}^5 ( - 1)^6 C_5^0 .2^5 ( - 5)^0  + C_{11}^4 ( - 1)^7 C_4^1 .2^3 ( - 5) + C_{11}^3 ( - 1)^8 C_3^2 .2( - 5)^2  = 92334
\)