Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y=sinx +2cosx +3/2sinx+cosx+3.Khi đó M²-2M-1 bằng?

Đáp án:

Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 3}}{{2\sin x + \cos x + 3}}\\ \Leftrightarrow \sin x + 2\cos x + 3 = 2y\sin x + y\cos x + 3y\\ \Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right)\sin x + \left( {y - 2} \right)\cos x = - 3y + 3\end{array}\) Phương trình có nghiệm \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 3y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 5{y^2} - 8y + 5 \ge 9{y^2} - 18y + 9\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 10y + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le y \le 2\end{array}\) Suy ra \(M = \max y = 2\) suy ra \({M^2} - 2M - 1 = {2^2} - 2.2 - 1 = - 1\)