giúp e với ạ, e đang cần gấp. E cảm ơn ạ!! Cho (C):x^2 +(y^2+1/4)^2=2 và (C1) : (x+1)^2+(y+3)^2=9, (C2) (x+2)^2+(y-3)^2. Tìm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ được 2 đường thẳng đến (C1) (C2) , mỗi đường cắt đường tròn theo 2 dây cung AB,CD sao cho vecto(MA.MB)= vecto(MC.MD)

Đáp án:

\({M_1}\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)\) và \({M_2}\left( { - \dfrac{{43}}{{37}};\dfrac{{55}}{{148}}} \right)\)

Giải thích các bước giải: Gọi \(N,P\) lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến qua \(M\) với hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) Khi đó \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \Leftrightarrow MA.MB = MC.MD\) \( \Leftrightarrow M{N^2} = M{P^2}\) (do \(MA.MB = M{N^2},MC.MD = M{P^2}\)) \( \Leftrightarrow MN = MP\). Ta có: \(I\left( { - 1; - 3} \right),J\left( { - 2;3} \right),{R_1} = IN = 3,{R_2} = JP = \sqrt 5 \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{I^2} = M{N^2} + N{I^2} = M{N^2} + 9\\M{J^2} = M{P^2} + J{P^2} = M{P^2} + 5\end{array} \right. \Rightarrow M{I^2} - M{J^2} = 4\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 2x + 1 + 6y + 9 - 4x - 4 + 6y - 9 = 4\\ \Leftrightarrow - 2x + 12y - 7 = 0\end{array}\) Mà \(M \in \left( C \right)\) nên \({x^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{4}} \right)^2} = 2\) Do đó ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{4}} \right)^2} = 2\\ - 2x + 12y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6y - \dfrac{7}{2}\\{\left( {6y - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{4}} \right)^2} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6y - \dfrac{7}{2}\\37{y^2} - \dfrac{{83}}{2}y + \dfrac{{165}}{{16}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6y - \dfrac{7}{2}\\\left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{4}\\y = \dfrac{{55}}{{148}}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = \dfrac{3}{4}\\x = - \dfrac{{43}}{{37}},y = \dfrac{{55}}{{148}}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)\\M\left( { - \dfrac{{43}}{{37}};\dfrac{{55}}{{148}}} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy có hai điểm \(M\) cần tìm là \({M_1}\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)\) và \({M_2}\left( { - \dfrac{{43}}{{37}};\dfrac{{55}}{{148}}} \right)\)