Giải phương trình : $x^3-4x^2-5x+6-\sqrt[3]{7x^2+9x-4}=0$

Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}x=5\\x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

${{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-5x+6-\sqrt[3]{7{{x}^{2}}+9x-4}=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x+2-\left( 7{{x}^{2}}+9x-4 \right)-\sqrt[3]{7{{x}^{2}}+9x-4}=0$

Đặt $t=\sqrt[3]{7{{x}^{2}}+9x-4}$

$PT\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x+2-{{t}^{3}}-t=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1 \right)+\left( x+1 \right)={{t}^{3}}+t$

$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{3}}+\left( x+1 \right)={{t}^{3}}+t\,\,\,\left( * \right)$

Xét $f\left( u \right)={{u}^{3}}+u$  với $u\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f'\left( u \right)=3{{u}^{2}}+1>0\,\,\,\forall u\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f\left( u \right)$ đồng biến và liên tục trên $\mathbb{R}$

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+1 \right)=f\left( t \right)$

$\Leftrightarrow x+1=t$

$\Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{7{{x}^{2}}+9x-4}$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1=7{{x}^{2}}+9x-4$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-6x+5=0$

$\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=5\\x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$