Giải bất phương trình : (\sqrt{x+3} - \sqrt{x-1} . (1 + \sqrt{x^2 + 2x-3}) ≥ 4 Giúp me vs nha ...

`text{Đáp án + Giải thích các bước giải :}`

`(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-1} . (1 + \sqrt{x^2 + 2x-3}) ≥ 4`

`text{ĐK}` `: x ≥ 0 `=>` \sqrt{x+3} + \sqrt{x-1} > 0`

`<=>` `(4.(1+\sqrt{x^2+2x-3}))/(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-1})`

`<=>` `1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3} ≥ \sqrt{x+3} + \sqrt{x-1}`

`<=>` `1 + x^2 + 2x - 3 + 2\sqrt{x^2 + 2x-3} ≥ x + 3 + x - 1 + 2\sqrt{(x+3)(x-1)}`

`<=>` `x^2 - 4 ≥ 0`

`=>` `x ∈ {≤ -2; ≥ 2}`

`text{Vậy ta được tập nghiệm của bất PT là :}`

`text{S =}` `[2;+∞)`

`text{#Muối}`

Điều kiện xác định $x\ge 1$

$\begin{array}{l}
\left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge 4\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge 4\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {x - 1} } \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ {\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge 4\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {x - 1} } \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge \sqrt {x + 3}  + \sqrt {x - 1} \\
 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}  - \sqrt {x + 3}  - \sqrt {x - 1}  \ge 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} \left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right) - \left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  - 1} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1}  - 1 \ge 0\\
\sqrt {x + 3}  - 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1}  - 1 \le 0\\
\sqrt {x + 3}  - 1 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 1\\
x + 3 \ge 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \le 1\\
x + 3 \le 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \ge  - 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x \le  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le  - 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Kiểm tra điều kiện xác định ta được $x\ge 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

$\Rightarrow S = \left[ {2; + \infty } \right)$