Đúng = 5 sao + TLHN Cho tam giác MNP cân tại P ( góc P < 90 độ), vẽ MA vuông góc với PN tại A, NC vuông góc với PM tại C. a) Chứng minh: PC = PA và CA // MN. b) Gọi I là giao điểm của MA và NC. Tia PI cắt MN tại K. Chứng minh tam giác IMN cân và K là trung điểm của MN. (Không cần vẽ hình cx đc)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Xét `\DeltaPCN` vuông tại `C` và `\DeltaPAM` vuông tại `A` có:

`PN=PM` (`\DeltaMNP` cân tại `P`)

`\hat{MPN}`: Góc chung 

`=>\DeltaPCN=\DeltaPAM(ch-gn)`

`=>PC=PA` (`2` cạnh tương ứng)

`=>\DeltaPCA` cân tại `P`

`=>\hat{PAC}=(180^o -\hat{MPN})/2`

Mà: `\hat{PNM}=(180^o -\hat{MPN})/2` (vì `\DeltaMPN` cân tại `P`)

`=>\hat{PAC}=\hat{PNM}(=(180^o -\hat{MPN})/2)`

Mà: `\hat{PAC}` và `\hat{PNM}` là `2` góc có vị trí đồng vị nên `CA////MN`

Vậy `PC=PA` và `CA////MN`

b)

Ta có: `\hat{PNC}=\hat{PMA}` (vì `\DeltaPCN=\DeltaPAM(cmt)`)

Lại có: `\hat{PNM}=\hat{PMN}` (vì `\DeltaMNP` cân tại `P`)

Do đó: `\hat{PNM}-\hat{PNC}=\hat{PMN}-\hat{PMA}`

`=>\hat{IMK}=\hat{INK}`

`=>\DeltaIMN` cân tại `I`

Xét `\DeltaPAI` vuông tại `A` và `\DeltaPCI` vuông tại `C` có:

`PI`: Cạnh chung

`PA=PC(cmt)`

`=>\DeltaPAI=\DeltaPCI(ch-cgv)`

`=>\hat{AIP}=\hat{CIP}` (`2` góc tương ứng)

Mà: `\hat{AIP}=\hat{KIM}` (đối đỉnh) và `\hat{CIP}=\hat{KIN}` (đối đỉnh)

`=>\hat{KIM}=\hat{KIN}`

Xét `\DeltaMKI` và `\DeltaNKI` có:

`\hat{IMK}=\hat{INK}(cmt)`

`MI=NI` (vì `\DeltaIMN` cân tại `I`)

`\hat{KIM}=\hat{KIN}(cmt)`

`=>\DeltaMKI=\DeltaNKI(g.c.g)`

`=>MK=NK` (`2` cạnh tương ứng)

Mà: `K\inMN`

Vậy `K` là trung điểm của `MN`