Củ Cà Rốt Gaming

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>4 thì phân số 4/n bằng tổng của 3 phân số Ai Cập khác nhau.

Xem đáp án

2 câu trả lời

Lê Lan Hương

gọi 3 phân số đó là
1/a; 1/b; 1/c
vậy ta có: 1/a + 1/b +1/c = 4/n
suy ra n(ab+bc+ca)=4abc (1)
bài toán trên trở thành chứng minh phương trình (1) luôn tồn tại 1cặp nghiệm nguyên(a,b,c)

Công Chúa Giá Băng

2 năm trước

Mình có lời giải này, nếu có chỗ nào sai thì các bạn góp ý nhé:
Nếu n = 3k. Khi đó:

$\frac{4}{n} \ = \ \frac{1}{n} \ + \ \frac{3}{n} \ = \ \frac{1}{n+1} \ + \ \frac{1}{n (n+1)} \ + \ \frac{3}{n} \ = \ \frac{1}{3k+1} \ + \ \frac{1}{3k(3k+1)} \ + \ \frac{1}{k}$

Nếu n = 3k + 2. Khi đó:

$\frac{4}{n} \ = \ \frac{3}{n} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{3}{n+1} \ + \ \frac{3}{n(n+1)} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{1}{k+1} \ + \ \frac{1}{(3k+2)(k+1)} \ + \ \frac{1}{3k+2}$

Nếu n = 3k + 1. Khi đó:

$\frac{4}{n} \ = \ \frac{3}{n} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{3}{n-1} \ - \ \frac{3}{n(n-1)} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{1}{k} \ - \ \frac{1}{k(3k+1)} \ + \ \frac{1}{3k+1} \ = \ \frac{1}{k} \ + \ \frac{1}{-k(3k+1)} \ + \ \frac{1}{3k+1}$