Chứng minh rằng nếu a,b,c thì $\sqrt[]{a}$ +$\sqrt[]{b}$+$\sqrt[]{c}$ là hữu tỉ
2 câu trả lời
Đáp án+Giải thích các bước giải:)
@danggiabao0
Đặt $\sqrt[]{a}$ + $\sqrt[]{b}$ + $\sqrt[]{c}$=`k`
⇒$\sqrt[]{a}$+$\sqrt[]{b}$=`k`-$\sqrt[]{c}$
⇒`a`+`b`+2$\sqrt[]{ab}$=`a^2`+c-2a$\sqrt[]{c}$
⇒2$\sqrt[]{ab}$+2a$\sqrt[]{c}$=`a^2`+c-a-b
⇒$\sqrt[]{ab}$+a$\sqrt[]{c}$=`{a^2+c-a-b}/{2}` ∈ Q
Đặt $\sqrt[]{ab}$+a$\sqrt[]{c}$=`r`
⇒$\sqrt[]{ab}$=r-a$\sqrt[]{c}$
⇒2ara$\sqrt[]{c}$=`r^2`+`a^2`c-ab
⇒a$\sqrt[]{c}$∈Q
Chứng minh tương tự
⇒$\sqrt[]{a}$ + $\sqrt[]{b}$ + $\sqrt[]{c}$ là số hữu tỉ
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Đặt $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$ = a( a ∈ Q)
=> $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$ = a - $\sqrt{c}$
=> a + b + 2$\sqrt{ab}$ = a² + c - 2a$\sqrt{c}$
=> 2$\sqrt{ab}$ + 2a$\sqrt{c}$ = $\dfrac{a²+c-a-b}{2}$ ∈ Q
Đặt $\sqrt{ab}$ + a$\sqrt{c}$ = r ( r ∈ Q)
=> $\sqrt{ab}$ = r - a$\sqrt{c}$
=> ab = r² + a²c - 2ar$\sqrt{c}$
=> 2ar$\sqrt{c}$ = r² + a²c - ab
=> $\sqrt{c}$ = $\dfrac{r²+a²c-ab}{2ar}$ ∈ Q
Chứng minh tương tự ta cũng có: √b ∈ Q , √a ∈ Q (đpcm)
