Chứng minh rằng nếu |a|<1;|b-1|<10;|a-c|<10 thì |ab-c|<20

Lời giải: 

Theo giả thiết ta có: 

$\left| a \right| < 1,\left| {b - 1} \right| < 10$

Suy ra: 

$\left| a \right|.\left| {b - 1} \right| < 1.10 = 10$

$\Leftrightarrow \left| {ab - a} \right| < 10$

Ta có bài toán phụ sau: 

$\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|$

Chứng minh: Bình phương hai vế ta được: 

${(x + y)^2} \le {(\left| x \right| + \left| y \right|)^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy \le {x^2} + {y^2} + 2\left| x \right|\left| y \right|$

$\Leftrightarrow xy \le \left| x \right|\left| y \right|$ (Luôn đúng với mọi x, y)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $xy \ge 0$

Áp dụng bài toán phụ ta có: 

$\left| {ab - c} \right| = \left| {(ab - a) + (a - c)} \right| \le \left| {ab - a} \right| + \left| {a - c} \right| < 10 + 10 = 20$

Vậy $\left| {ab - c} \right| < 20$