chứng minh rằng 3^(2n-1) cộng 2^(n cộng 1) luôn chia hết cho 7 với mọi n thuộc N sao

Giải thích các bước giải:

 Xét n=1 -> \({3^{2n - 1}} + {2^{n + 1}}\)=7 chia hết cho 7

Giả sử n=k>1 thì \({3^{2k - 1}} + {2^{k + 1}}\) chia hết cho 7

Chứng minh n=k+1 (k∈N*) thì \({3^{2n - 1}} + {2^{n + 1}}\) chia hết cho 7

Thật vậy: 

\(\begin{array}{l}
{3^{2(k + 1) - 1}} + {2^{(k + 1) + 1}} = {3^{2k + 1}} + {2^{k + 2}}\\
 = {9^n}.3 + {2^n}.4\\
 = {9^n}.3 - {2^n}.3 + {2^n}.7\\
 = 3({9^n} - {2^n}) + {2^n}.7
\end{array}\)

Ta có \({2^n}.7\) chia hết cho 7

\({9^n} - {2^n}\) chia hết cho (9-2)=7 

-> \({3^{2k + 1}} + {2^{k + 2}}\) chia hết cho 7 -> đpcm

Vậy \({3^{2n - 1}} + {2^{n + 1}}\) chia hết cho 7 với mọi n∈N* (đpcm)