Cho y = (sinx-2cosx)(2sinx+cosx )-1 . Tìm min max

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Sin^2 x - cos^2 x = - (cos^2 x - sin^2 x) = - (1 - 2sin2x)

Đáp án:

Miny = - 7/2

Maxy = 3/2

Giải thích các bước giải:

y = (sinx - 2cosx)(2sinx + cosx) - 1

2y = 2(sinx - 2cosx)(2sinx + cosx) - 2

= - 4(cos²x - sin²x) - 6sinxcosx - 2

= - 4cos2x - 3sin2x - 2 (*)

= 5.[(- 4/5)cos2x + (- 3/5)sin2x] - 2

= 5.sin(a + 2x) - 2 ( với a là góc nhọn thỏa mãn sina = - 4/5 và cosa = - 3/5)

Vì - 1 ≤ sin(a + 2x) ≤ 1 ⇔ - 5 ≤ sin(a + 2x) ≤ 5⇔ - 7 ≤ 5sin(a + 2x) - 2 ≤ 3

Vậy :

Miny = - 7/2 đạt được khi sin(a + 2x) = - 1 ⇔ 2x + a = - π/2 + k2π ⇔ x = - π/4 - a/2 + kπ

Maxy = 3/2 đạt được khi sin(a + 2x) = 1 ⇔ 2x + a = π/2 + k2π ⇔ x = π/4 - a/2 + kπ

Cách khác : Khi biến đổi đến bước (*) bạn Cũng có thể áp dụng BĐT Bunhiacosky:

- √(a² + b²)(c² + d²) ≤ ac + bd ≤ √(a² + b²)(c² + d²)

Dấu "=" xảy ra khi a/c = b/d

với a = - 4; b = - 3; c = sin2x; d = cos2x và sin²2x + cos²2x = 1 ta có :

- √[(- 4)² + (- 3)²].(sin²2x + cos²2x) ≤ - 4cos2x - 3sin2x ≤ √[(- 4)² + (- 3)²].(sin²2x + cos²2x) 

⇔  - 5 ≤ - 4cos2x - 3sin2x ≤ 5

⇔  - 7 ≤ - 4cos2x - 3sin2x - 2 ≤ 3

⇔  - 7 ≤ 2y ≤ 3

⇔  - 7/2 ≤ y ≤ 3/2

Vậy :

Min y = - 7/2

Max y = 3/2