Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D. a) Chứng minh rằng:BE = CD; AD = AE. b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các tam giác MAB; MAC là tam giác vuông cân. c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.

Đáp án:

$\text{a) Chứng minh rằng:BE = CD; AD = AE.}$

$\widehat{ABE}$ = $\widehat{ACD}$ = `\frac{45^0}{2}` `= 22,5^0`

$\Rightarrow$ $\text{$\triangle$ACD = $\triangle$ABE}$ `(g.c.g)`

$\Rightarrow$ `AD = AE` $\text{(2 cạnh tương }$

$\text{b) Vì ΔABC vuông cân tại A}$

$\text{$\Rightarrow$ AM là đường trung tuyến thì AM cũng là đường cao.}$

$\text{$\Rightarrow$ ΔMAB và ΔMAC là các tam giác vuông}$

$\text{$\Rightarrow$ sẽ có 1 góc bằng $45^0$ là tam giác vuông cân.}$

$\text{c) ΔABK có BE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến}$

$\text{$\Rightarrow$ ΔABK cân tại B.}$

$\text{$\Rightarrow$ BE cũng là đường trung trực}$

$\text{$\Rightarrow$ ΔAEB = ΔKEB (c-c-c)}$

$\text{$\Rightarrow$ EK = EA}$

$\widehat{EKC}$ = $90^0$

$\widehat{KCE}$ = $45^0$

$\text{$\Rightarrow$ ΔEKC vuông cân}$

$\Rightarrow$ `KC = KE` $\leftrightarrow$ $\widehat{CEK}$ = $45^0$

$\Rightarrow$ $\text{EK || AM}$