Cho tam giác ABC có hai đỉnh B (0;4), C(-6;0). Một điểm A thay đổi chạy trên đường tròn ( C ) có phương trình (x -1)2 + (y + 3)2 = 5 . Khi điểm A chạy trên đường tròn ( C) thì trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên đường có hình gì? Viết phương trình đường đó?

Gọi M là trung điểm của BC => M (-3;2), G thuộc AM. \(\eqalign{ & \overrightarrow {MG} = {1 \over 3}\overrightarrow {MA} \cr & \Rightarrow {V_{\left( {M;{1 \over 3}} \right)}}\left( A \right) = G \cr} \). => Khi A di chuyển trên đường tròn ( C ) có phương trình (x -1)2 + (y + 3)2 = 5 thì G di chuyển trên đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm M, tỉ số 1/3. (C) có tâm I(1;-3), bán kính R=căn 3. Gọi \({V_{\left( {M;{1 \over 3}} \right)}}\left( I \right) = I' \Rightarrow \overrightarrow {MI'} = {1 \over 3}\overrightarrow {MI} \) \(\eqalign{ & {V_{\left( {M;{1 \over 3}} \right)}}\left( I \right) = I' \Rightarrow \overrightarrow {MI'} = {1 \over 3}\overrightarrow {MI} \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_{I'}} + 2 = {1 \over 3}4 \hfill \cr {y_{I'}} - 2 = {1 \over 3}.\left( { - 5} \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_{I'}} = - {5 \over 4} \hfill \cr {y_{I'}} = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow I'\left( { - {5 \over 4};{1 \over 3}} \right) \cr & R' = \left| k \right|R = {1 \over 3}\sqrt 5 \cr & \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,{\left( {x + {5 \over 4}} \right)^2} + {\left( {y - {1 \over 3}} \right)^2} = {5 \over 9} \cr} \)