Cho tam giác ABC có góc `A = 90^o, góc ABC= 54o, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc DBC = 18o Chứng minh rằng : BD > AC

Gọi $BK$ là phân giác $\widehat{ABD}(K\in AC)$

Từ $K$ kẻ $KN\bot BD (N\in BD)$

$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}-\widehat{DBC}=54^o - 18^o=36^o\\\to \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=18^o\\\widehat{KBC}=\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=18^o . 2=36^o\\\widehat{C}+\widehat{ABC}=90^o\\\to \widehat{C}=90^o - 54^o=36^o\\\to \widehat{C}=\widehat{KBC}=36^o$

$\to \triangle BKC$ cân tại $K$

$\to KC=BK$

$\triangle AKB$ và $\triangle NKB$ có :

$\widehat{KAB}=\widehat{KNB}=90^o,BK$ chung, $\widehat{B_2}=\widehat{B_1}$

$\to \triangle AKB=\triangle NKB$ (ch-gn)

$\to AK=KN$

Dễ dàng tính được $\widehat{AKB}=90^o - 18^o=72^o$

$\to \widehat{DKB}=180^o - 72^o=108^o\\\to \widehat{D_1}=180^o - 108^o - 18^o=54^o\\\to \widehat{K_1}=90^o - 54^o=36^o\\\to \widehat{D_1}>\widehat{K_1}\\\to KN > DN\\\to AK > DN$

$\triangle KNB$ vuông tại $N$ có $BK$ là cạnh huyền

$\to BK> BN\\BD=BN + DN< BK + AK = CK + AK = AC\\\to BD < AC$