Cho tam giác ABC có : AB=AC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM=MD

a/ Chứng minh ABM=DCM

b/ Chứng minh AB // DC

c/ Chứng minh AM vuông góc với BC

d/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để ADC =30°. Chứng minh AD = BH

e/ Trên tia đối của tia AC lấy H sao cho AC=AH.Chứng minh AD=BM

f/ Chứng minh tam giác HBC vuông

(Chỉ cần làm câu e và f )

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$

$AM=DM\\ \widehat{M_1}=\widehat{M_2}(đ đ)\\ BM=CM\\ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM (c.g.c)\\ b)\Delta ABM = \Delta DCM\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{D_1}$

Mà hai góc ở vị trí so le trong so với $AB$ và $DC$

$\Rightarrow AB//DC$

$c)\Delta ABC có AB=AC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow $Trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AM \perp BC$

$d)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow $Trung tuyến $AM$ đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \widehat{BAC}=2\widehat{A_1}=2\widehat{D_1}=60^\circ$

$\Delta ABC$ cân tại $A, \widehat{BAC}=60^\circ$

$\Rightarrow \Delta ABC$ đều

$e)\Delta ABM = \Delta DCM\\ \Rightarrow AB=DC\\ AH=AC=AB$

$AB//DC \Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{ACD}$ (đồng vị)

Xét $\Delta HAB$ và $\Delta ACD$

$HA=AC\\ \widehat{HAB}=\widehat{ACD}\\ AB=DC\\ \Rightarrow \Delta HAB = \Delta ACD\\ \Rightarrow HB=AD\\ f)\Delta HAB = \Delta ACD\\ \Rightarrow \widehat{H}=\widehat{A_2}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị so với $HB$ và $AD$

$\Rightarrow HB/AD$

Mà $AD \perp BC$

$\Rightarrow HB \perp BC$

$\Rightarrow \Delta HBC$ vuông tại $B.$